Масса и энергия
Приложение 1
Определения
1.Точка есть то, что не имеет частей.
2.Линия же - длина без ширины.
3.Концы же линии — точки.
4.Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.
5.Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6.Концы же поверхности — линии.
7.Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.
8.Плоский же угол есть наклонение друг к другу двух линий, в плоскости встречающихся друг с другом, но не расположенных по <одной> прямой.
9.Когда же линии, содержащие угол, прямые, то угол называется прямолинейным.
10.Когда же прямая, восстановленная на <другой> прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.
11.Тупой угол - больший прямого.
12.Острый же - меньший прямого.
13.Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.
14.Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ.
15.Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии [которая называется окружностью], на которую все из одной точки внутри фигуры падающие [на окружность круга] прямые равны между собой.
16.Центром же круга называется эта точка.
17.Диаметр же круга есть какая угодно прямая, проведённая через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же и рассекает круг пополам.
18.Полукруг же есть фигура, содержащаяся между диаметром и отсекаемой им <частью> окружности. Центр же полукруга — то же самое, что и у круга.
19.Прямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между прямыми, трёхсторонние – между тремя, четырёхсторонние же – четырьмя, многосторонние же – которые содержатся между более чем четырьмя прямыми.
20.Из трёхсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же - имеющая только две равные стороны, разносторонний же — имеющая три неравные стороны.
21.Кроме того, из трёхсторонних фигур прямоугольный треугольник есть имеющий прямой угол, тупоугольный же – имеющий тупой угол, а остроугольный – имеющий три острых угла.
22.Из четырёхсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя и прямоугольная, разносторонник же - прямоугольная, но не равносторонняя, ромб - равносторонняя, но не прямоугольная, ромбоид (параллелограмм) — имеющая противоположные стороны и углы, равные между собой, но не являющаяся ни равносторонней ни прямоугольной. Остальные же четырёхсторонники будем называть трапециями.
23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой <стороны> между собой не встречаются.
Постулаты
Допустим:
1.Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию.
2.И что ограниченную прямую <можно> непрерывно продолжать по прямой.
3.И что из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг.
4.(Акс. 10.) И что все прямые углы равны между собой.
5.(Акс. 11.) И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну
сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых.
Общие понятия (Аксиомы)
1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой.
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не содержат пространства.
Предложения 1-29
1. На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник.
2. От данной точки отложить прямую, равную данной прямой.
3. Из двух заданных неравных прямых от большей отнять прямую, равную меньшей.
4. Если два треугольника имеют по две стороны, равные каждая каждой, и по равному углу, содержащемуся между равными прямыми, то они будут иметь и основание, равное основанию, и один треугольник будет равен другому, и остальные углы, стягиваемые равными сторонами, будут равны остальным углам каждый каждому.
5. У равнобедренных треугольников углы при основании равны между собой, и по продолжении равных прямых углы под основанием будут равны между собой.
6. Если в треугольнике два угла равны между собой, то будут равны между собой и стороны, стягивающие равные углы.
7. На одной и той же прямой нельзя построить двух прямых, равных каждая каждой двум другим прямым и <сходящихся> одни в одной точке, другие в другой, так, чтобы эти прямые находились бы по одну сторону и имели бы одни и те же концы с первоначальными прямыми.
8. Если два треугольника имеют две стороны, равные каждая каждой двум сторонам, имеют также и основание, равное основанию, то они будут иметь и угол равный углу, заключённому между равными прямыми.
9. Данный прямолинейный угол рассечь пополам.
10. Данную ограниченную прямую рассечь пополам.
11. К данной прямой из заданной на ней точки провести прямую под прямыми углами.
12.К данной неограниченной прямой из заданной точки, на ней не находящейся, провести перпендикулярную прямую линию.
13. Если прямая, восставленная на прямой, образует углы, то она будет образовывать или два прямых или <вместе> равные двум прямым.
14. Если с некоторой прямой в какой-нибудь её точке две прямые, расположенные не по одну и ту же сторону, образуют смежные углы, равные <вместе> двум прямым, то эти прямые по отношению друг к другу будут по одной прямой.
15. Если две прямые пересекаются, то образуют углы через вершину, равные между собой.
16.Во всяком треугольнике при продолжении одной из сторон внешний угол больше каждого из внутренних, <ему> противолежащих.
17. Во всяком треугольнике два угла, взятые вместе при всяком их выборе, меньше двух прямых.
18. Во всяком треугольнике большая сторона стягивает больший угол.
19. Во всяком треугольнике больший угол стягивается и большей стороной.
20. Во всяком треугольнике две стороны, взятие вместе при всяком их выборе, больше оставшейся.
21. Если в треугольнике на одной из сторон от концов восставлены будут внутрь две прямые, то восставленные прямые (вместе) будут меньше двух остальных сторон треугольника, но будут заключать больший угол.
22. Из трёх прямых, которые равны трём данным [прямым], составить треугольник; нужно, однако, чтобы две <прямые, взятые, вместе>, при всяком их выборе были бы больше оставшейся [вследствие того, что во всяком треугольнике две стороны, <взятые вместе> при всяком их выборе, больше оставшейся].
23. На данной прямой при данной её точке построить прямолинейный угол, равный данному прямолинейному углу.
24. Если два треугольника имеют две стороны, равные двум сторонам каждая каждой, но заключённый между равными сторонами угол <в одном> больше, <чем в другом>, то и основание <в первом> будет больше основания <во втором>.
25. Если два треугольника имеют две стороны, равные двум сторонам каждая каждой, основание же <в одном> больше, чем основание <в другом>, то и угол, заключённый между равными прямыми <в первом>, больше угла <во втором>.
26. Если два треугольника имеют два угла, равных двум углам каждый каждому, и одну сторону, равную одной стороне, либо заключающейся между равными углами, либо стягивающей один из равных углов, то они будут иметь и остальные стороны равными остальным сторонам [каждая каждой] и оставшийся угол оставшемуся углу.
27. Если прямая, падающая на две прямые, образует накрестлежащие углы, равные между собой, то прямые будут параллельны друг другу.
28. Если прямая, падающая на две прямые, образует внешний угол, равный внутреннему противолежащему с той же стороны, или внутренние односторонние <углы вместе>, равные двум прямым, то прямые будут параллельны между собой.
29. Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрестлежащие углы, равные между собой, и внешний угол, равный внутреннему, противолежащему с той же стороны, и внутренние односторонние углы, <вместе> равные двум прямым.