Масса и энергия
Корректен ли диагональный метод?
Теперь зададимся вопросом – а корректен ли сам диагональный процесс? В десятичной системе исчисления добавление цифры к числу увеличивает количество вариантов чисел в 10 раз. Одна цифра – 10 вариантов от 0 до 9. Число из двух цифр – 100 вариантов от 00 до 99. Три цифры – 1000 вариантов от 000 до 999. Четыре – 10 000 вариантов от 0000 до 9999 и т.д. Если рассматривать числа в промежутке 0 – 1, то там аналогичная ситуация. То есть, применяя диагональный метод, мы на первом шаге рассматриваем один вариант из 10 возможных, а 9 отбрасываем.
Шаг 2. Рассматриваем 2 варианта из 100 возможных, а 98 отбрасываем.
Шаг 3. Рассматриваем 3 варианта из 1000 возможных, а 997 отбрасываем.
Шаг 4. Рассматриваем 4 варианта из 10 000 возможных, а 9996 отбрасываем.
Шаг 5. Рассматриваем 5 вариантов из 100 000 возможных, а 99 995 отбрасываем.
Шаг ∞. Рассматриваем ∞ вариантов из ∞ возможных, а ∞ отбрасываем.
Очень любопытный метод. Давайте, применим его к конечному множеству. Например, к той же ситуации, рассмотренной выше (отбросим знаки …).
1 → .1 1 1 1 1
2 → .3 0 1 0 2
3 → .4 7 7 1 2
4 → .6 0 2 0 5
5 → .6 9 8 9 7
---------------------
.9 1 1 1 1
Мы имеем ряд чисел 0,00000 ; 0,00001 ; 0,00002 ; …. 0,99999.
Наш ряд состоит из 100 000 чисел. Давайте проверим, является ли наше множество счётным. То есть, сможем ли мы его посчитать, применяя целые числа из промежутка 1→ ∞. Хватит ли нам для этого целых чисел этого промежутка? Для этого применим диагональный метод.
Допустим, что наше множество счётное. То тогда можно его числа одно за другим объединить в пары с натуральными числами. Проведём диагональный процесс. Каков бы ни был перечень чисел, можно построить новое число, не входящее в этот перечень. Построенное разложение представляет некоторое число, расположенное между 0,00000 и 0,99999, но оно должно отличаться, по крайней мере, одним десятичным знаком от каждого числа входящего в перечень. Следовательно, предположение, что числа множества 0,00000 ….. 0,99999 можно объединить в пары с натуральными числами, приводит к противоречию, а потому должно быть отброшено.
Мы только что доказали диагональным методом, что нельзя посчитать целыми числами промежутка 1 - ∞ наше множество, состоящее из 100 000 чисел. У нас недостаток натуральных чисел. Почему так получилось? Мы включили в перечень 5 чисел из 100 000, а 99 995 отбросили. Конечно, мы можем найти число не входящее в перечень. При переходе к бесконечности, отбрасываемые из рассмотрения числа, никуда не деваются. Их становится бесконечное множество. (Шаг ∞. Рассматриваем ∞ вариантов из ∞ возможных, а ∞ отбрасываем.)
Тут можно возразить, что диагональный метод применим только к бесконечным множествам. Хорошо, примем это возражение, и попытаемся применить диагональный процесс к другим бесконечным множествам. Нам необходимо доказать, что диагональный метод может дать разные результаты. Поэтому используем бесконечные множества, считающиеся заведомо счётными.
Возьмем бесконечное множество нечётных чисел. Это множество считается счётным. Попробуем применить диагональный процесс для доказательства этого утверждения. Чтобы использовать диагональный метод необходимо, чтобы числа были бесконечные. Для этого с левой стороны числа подставим нули. То есть представим числа в виде:
…000XYYY…YYZ
где X – любая цифра отличная от нуля
Y – любая цифра от 0 до 9
Z – любая нечетная цифра: 1, 3, 5, 7, 9.
Соответственно, диагональ у нас будет направлена от верхнего правого угла к нижнему левому. Кроме того, отличие будет в крайнем правом столбике цифр. В нём разнообразие цифр будет не 10 – от 0 до 9, как в остальных, а только 5: 1, 3, 5, 7, 9.
Чисел у нас в избытке (множество бесконечное), а рассматриваемая матрица конечна. Поэтому можно поставить условие, чтобы числа, следующие друг за другом, не содержали одинаковые последовательности цифр. (Иначе можно заполнить всю матрицу одинаковыми цифрами и сказать, что числа отличаются где-то слева. Впрочем, это условие применяется и в классическом диагональном процессе, хотя и не озвучено.)
… 1 1 1 1 1 ← 1
… 2 0 1 0 3 ← 2
… 2 1 7 7 5 ← 3
… 5 0 2 0 3 ← 4
… 7 9 8 9 1 ← 5
------------------
1 1 1 1 9
Итак, начнём наше доказательство.
Допустим, что наше множество счётное. То тогда можно его числа одно за другим объединить в пары с натуральными числами. Проведём диагональный процесс. Каков бы ни был перечень чисел, можно построить новое нечётное число, не входящее в этот перечень. Построенное разложение представляет некоторое нечетное число, расположенное между 0 и ∞, но оно должно отличаться, по крайней мере, одним десятичным знаком от каждого числа входящего в перечень. Следовательно, предположение, что нечётные числа множества 0…..∞ можно объединить в пары с натуральными числами, приводит к противоречию, а потому должно быть отброшено.
Аналогичным образом можно провести диагональный процесс с бесконечным множеством чётных чисел. В крайнем правом столбце заменим цифры 1, 3, 5, 7, 9 на 0, 2, 4, 6, 8.
То, что бесконечное множество нечётных чисел и бесконечное множество чётных чисел являются счётными, доказывается другим способом. Диагональный метод показывает, что эти бесконечные множества несчётны, то есть их числа нельзя объединить в пары с множеством целых чисел промежутка 1 → ∞.
Теперь проверим диагональным методом, является ли счётным бесконечное множество целых чисел. Это бесконечное множество считается счётным. Представим целые числа в виде:
…000XYYY…YYZ
где X – любая цифра отличная от нуля
Y – любая цифра от 0 до 9
Z – знак + или -.
Проведём диагональный процесс:
… 1 1 1 1 + ← 1
… 2 0 1 0 + ← 2
… 2 1 7 7 - ← 3
… 5 0 2 0 + ← 4
… 7 9 8 9 - ← 5
----------------------
1 1 1 1 -
Допустим, что наше множество счётное. То тогда можно его числа одно за другим объединить в пары с натуральными числами. Проведём диагональный процесс. Каков бы ни был перечень чисел, можно построить новое целое число, не входящее в этот перечень. Построенное разложение представляет некоторое целое число, расположенное между -∞ и +∞, но оно должно отличаться, по крайней мере, одним десятичным знаком (или знаком +,-) от каждого числа входящего в перечень. Следовательно, предположение, что целые числа можно объединить в пары с натуральными числами, приводит к противоречию, а потому должно быть отброшено.
Диагональный метод и в этот раз показывает, что рассматриваемое бесконечное множество несчётно, то есть его числа нельзя объединить в пары с множеством целых чисел промежутка 1 → ∞.
А теперь проверим, а является ли бесконечное множество натуральных чисел счётным?
То есть можно ли посчитать натуральными числами натуральные числа? Казалось бы, что может быть проще? Объединяем числа в пары: 1 → 1, 2 → 2, 3 → 3, 4 → 4, и т.д. до бесконечности. Казалось бы, что счётность этого множества очевидна. Но применим диагональный метод. Хотя бы для того, чтобы проверить его правомерность.
Представим числа в виде:
…000XYYY…YYY
где X – любая цифра отличная от нуля
Y – любая цифра от 0 до 9
Проведём диагональный процесс:
… 1 1 1 1 1 ← 1
… 2 0 1 0 3 ← 2
… 2 1 7 7 4 ← 3
… 5 0 2 0 6 ← 4
… 7 9 8 9 6 ← 5
----------------------
1 1 1 1 9
Допустим, что наше множество счётное. То тогда можно его числа одно за другим объединить в пары с натуральными числами. Проведём диагональный процесс. Каков бы ни был перечень чисел, можно построить новое натуральное число, не входящее в этот перечень. Построенное разложение представляет некоторое натуральное число, расположенное между 0 и ∞, но оно должно отличаться, по крайней мере, одним десятичным знаком от каждого числа входящего в перечень. Следовательно, предположение, что натуральные числа можно объединить в пары с натуральными числами, приводит к противоречию, а потому должно быть отброшено.
Диагональный метод и в этот раз показывает, что рассматриваемое бесконечное множество несчётно, то есть его числа нельзя объединить в пары с множеством целых чисел промежутка 1 → ∞. А теперь зададимся вопросом, было ли кем ни будь, когда ни будь показано, что диагональный метод может давать другой результат, отличный от вывода о несчётности рассматриваемого бесконечного множества? Я таких примеров не знаю. Получить другой результат у меня тоже не получается. А без этого, как можно принимать доказательность диагонального метода? Сначала предъявите доказательство, что диагональный метод в принципе может дать разные результаты.
А то получается, что счётность бесконечного множества доказывается одними методами, а несчётность диагональным методом, который другого результата дать и не может. Какие-то двойные стандарты.
Почему так получается? А потому, что из рассмотрения отбрасывается большинство чисел, а потом из этих отброшенных чисел предъявляется одно, и заявляется, что это является доказательством несчётности бесконечного множества. Какой-то шулерский приём. (Как из рукава козырный туз достали).
Может быть в другой системе счисления, отличной от десятичной, такой метод применим? Но ни в одной системе исчисления невозможно, чтобы все числа входили в рассматриваемый перечень. Различие только в количестве отбрасываемых чисел. Диагональный метод применим, разве что в единичной системе счисления. Когда мы показываем один палец – это единица, два – двойка и т.д. Тогда 1 → 1, 2 → 11, 3 → 111, 4 → 1111, и т.д.
Тогда получим:
1 → 1
2 → 1 1
3 → 1 1 1
4 → 1 1 1 1
5 → 1 1 1 1 1
------------------
1 1 1 1 1
Мы действительно, не можем подобрать отличающееся число. Значит множество счётное.
Какие выводы мы можем сделать?
1. Диагональный метод применим только в единичной системе исчисления, так как нет отбрасываемых из рассмотрения чисел. (Если то, что получилось можно назвать диагональным процессом).
2. В любой другой системе счисления (двоичной, десятичной и т.д.), мы методом от противного можем доказать несчётность ЛЮБОГО ряда чисел, как бесконечного, так и конечного. (Из рассмотрения исключаются большинство вариантов). И поэтому диагональный процесс не имеет доказательной силы.
Диагональный метод больше похож на цирковой фокус, предназначенный вызывать удивление публики. Применение его в такой науке, как математика – действительно вызывает удивление.
Разделение бесконечных множеств на счётные и несчётные было первым шагом к созданию отдельного направление математики - анализу бесконечных множеств. Если такое деление (основанное на диагональном методе) не правомерно, то и дальнейшие построения неправомерны.
31.01.2016г. – 17.05.2016г.